Theorem von Chebyshev (Tschebyscheff) in Excel - so geht's

Der Satz von Chebyshev (Tschebyscheff) besagt, dass für jede Zahl k größer als 1 mindestens 1 – 1/k ² der Datenwerte in einer beliebigen geformten Verteilung innerhalb von k Standardabweichungen des Mittelwerts liegen.

Beispielsweise liegen für jede geformte Verteilung mindestens 1 – 1/3 ² = 88,89% der Werte in der Verteilung innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert.

Dieses Tutorial veranschaulicht mehrere Beispiele für die Anwendung des Chebyshev-Theorems in Excel.

Beispiel 1: Verwenden Sie den Satz von Chebyshev, um herauszufinden, welcher Prozentsatz der Werte für einen Datensatz mit einem Mittelwert von 50 und einer Standardabweichung von 10 zwischen 30 und 70 liegt.

Bestimmen Sie zunächst den Wert für k. Wir können dies tun, indem wir herausfinden, wie viele Standardabweichungen 30 und 70 vom Mittelwert entfernt sind:

(30 – Mittelwert) / Standardabweichung = (30 – 50) / 10 = -20 / 10 = -2

(70 – Mittelwert) / Standardabweichung = (70 – 50) / 10 = 20 / 10 = 2

Die Werte 30 und 70 liegen 2 Standardabweichungen unter bzw. über dem Mittelwert. Somit ist k = 2.

Wir können dann die folgende Formel in Excel verwenden, um den minimalen Prozentsatz der Werte zu finden, die innerhalb von 2 Standardabweichungen des Mittelwerts für diesen Datensatz liegen:

Der Prozentsatz der Werte, die für dieses Dataset zwischen 30 und 70 liegen, beträgt mindestens 75%.

Beispiel 2: Verwenden Sie den Satz von Chebyshev, um herauszufinden, welcher Prozentsatz der Werte für einen Datensatz mit einem Mittelwert von 35 und einer Standardabweichung von 5 zwischen 20 und 50 liegt.

Bestimmen Sie zunächst den Wert für k. Wir können dies tun, indem wir herausfinden, wie viele Standardabweichungen 20 und 50 vom Mittelwert entfernt sind:

(20 – Mittelwert) / Standardabweichung = (20 – 35) / 5 = -15 / 5 = -3

(50 – Mittelwert) / Standardabweichung = (50 – 35) / 5 = 15 / 5 = 3

Die Werte 20 und 50 liegen 3 Standardabweichungen unter bzw. über dem Mittelwert. Somit ist k = 3.

Wir können dann die folgende Formel in Excel verwenden, um den minimalen Prozentsatz der Werte zu ermitteln, die innerhalb von 3 Standardabweichungen des Mittelwerts für diesen Datensatz liegen:

Der Prozentsatz der Werte, die für dieses Dataset zwischen 20 und 50 liegen, beträgt mindestens 88,89%.

Beispiel 3: Verwenden Sie den Satz von Chebyshev, um herauszufinden, welcher Prozentsatz der Werte für einen Datensatz mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 5 zwischen 80 und 120 liegt.

Bestimmen Sie zunächst den Wert für k. Wir können dies tun, indem wir herausfinden, wie viele Standardabweichungen 80 und 120 vom Mittelwert entfernt sind:

(80 – Mittelwert) / Standardabweichung = (80 – 100) / 5 = -20 / 5 = -4

(120 – Mittelwert) / Standardabweichung = (120 – 100) / 5 = 20 / 5 = 4

Die Werte 80 und 120 liegen 4 Standardabweichungen unter bzw. über dem Mittelwert. Somit ist k = 4.

Wir können dann die folgende Formel in Excel verwenden, um den minimalen Prozentsatz der Werte zu finden, die innerhalb von 4 Standardabweichungen des Mittelwerts für diesen Datensatz liegen:

Der Prozentsatz der Werte, die für dieses Dataset zwischen 80 und 120 liegen, beträgt mindestens 93,75%.

Zusätzliche Ressourcen

Der Theorem-Rechner von Chebyshev (Tschebyscheff)