Mengenlehre: Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Komplement, Differenz

Unter einer Menge versteht man in der Mathematik jede Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.

Wir bezeichnen eine Menge mit einem Großbuchstaben und definieren die Elemente innerhalb der Menge in geschweiften Klammern. Angenommen, wir haben eine Menge namens "A" mit den Elementen 1, 2, 3. Wir würden dies schreiben als:

A = {1, 2, 3}

In diesem Tutorial werden die häufigsten Mengenoperationen erläutert, die in Wahrscheinlichkeits- und Statistikverfahren verwendet werden.

Vereinigungsmenge

Definition: Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sich entweder in A oder B befinden.

Notation: A ∪ B.

Beispiele:

• {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

Schnittmenge

Definition: Die Schnittmenge der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sich sowohl in A als auch in B befinden.

Notation: A ∩ B.

Beispiele:

• {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = {∅}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}

Komplement

Definition: Das Komplement von Satz A ist die Menge von Elementen, die sich in der universellen Menge U befinden, aber nicht in A.

Notation: A' oder A ^c

Beispiele:

• Wenn U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und A = {1, 2}, dann ist A ^c = {3, 4, 5, 6}
• Wenn U = {1, 2, 3} und A = {1, 2}, dann ist A ^c = {3}

Differenz

Definition: Die Differenz der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sich in A, aber nicht in B befinden.

Notation: A - B.

Beispiele:

• {1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}
• {1, 2} - {1, 2} = {∅}
• {1, 2, 3} - {4, 5} = {1, 2, 3}

Symmetrische Differenz

Definition: Die symmetrische Differenz der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sich entweder in A oder B befinden, jedoch nicht in beiden.

Notation: A Δ B.

Beispiele:

• {1, 2, 3} Δ {2, 3, 4} = {1, 4}
• {1, 2} Δ {1, 2} = {∅}
• {1, 2, 3} Δ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Kartesisches Produkt

Definition: Das kartesische Produkt der Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare aus A und B.

Notation: A x B.

Beispiele:

• Wenn A = {H, T} und B = {1, 2, 3}, dann ist A x B = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (T, 1), ( T, 2), (T, 3)}
• Wenn A = {T, H} und B = {1, 2, 3}, dann ist A x B = {(T, 1), (T, 2), (T, 3), (H, 1), ( H, 2), (H, 3)}