Die Normalverteilung

Die Normalverteilung ist die häufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik.

Normalverteilungen weisen folgende Merkmale auf:

• Glockenform
• Symmetrisch
• Mittelwert und Median sind gleich; beide befinden sich im Zentrum der Verteilung
• Etwa 68% der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert
• Etwa 95% der Daten liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert
• Etwa 99,7% der Daten liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert

Die letzten drei Aufzählungspunkte werden als empirische Regel bezeichnet, die manchmal als 68-95-99.7-Regel bezeichnet wird.

So zeichnen Sie eine normale Kurve

Um eine normale Kurve zu zeichnen, müssen wir den Mittelwert und die Standardabweichung kennen.

Beispiel 1: Angenommen, die Größe der Männer an einer bestimmten Schule ist normalerweise mit einem Mittelwert von μ = 70 Zoll und einer Standardabweichung von σ = 2 Zoll verteilt. Skizzieren Sie die normale Kurve.

Schritt 1: Skizzieren Sie eine normale Kurve.

Schritt 2: Der Mittelwert von 70 Zoll geht in die Mitte.

Schritt 3: Jede Standardabweichung ist ein Abstand von 2 Zoll.

Beispiel 2: Angenommen, das Gewicht einer bestimmten Otterart ist normalerweise mit einem Mittelwert von μ = 30 lbs und einer Standardabweichung von σ = 5 lbs verteilt. Skizzieren Sie die normale Kurve.

Schritt 1: Skizzieren Sie eine normale Kurve.

Schritt 2: Der Mittelwert von 30 Pfund geht in die Mitte.

Schritt 3: Jede Standardabweichung ist ein Abstand von 5 lbs

So ermitteln Sie Prozentsätze mithilfe der Normalverteilung

Die empirische Regel, manchmal auch als 68-95-99.7-Regel bezeichnet, besagt, dass für eine normalverteilte Zufallsvariable 68% der Daten innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts liegen, 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen des Mittelwerts und 99,7% liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.

Mit dieser Regel können wir Fragen zu Prozentsätzen beantworten.

Beispiel: Angenommen, die Größe der Männer an einer bestimmten Schule ist normalerweise mit einem Mittelwert von μ = 70 Zoll und einer Standardabweichung von σ = 2 Zoll verteilt.

Wie viel Prozent der Männer an dieser Schule sind ungefähr größer als 30 cm?

Lösung:

Schritt 1: Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von μ = 70 Zoll und einer Standardabweichung von σ = 2 Zoll.

Schritt 2: Eine Höhe von 74 Zoll ist zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. Addieren Sie die Prozentsätze über diesem Punkt in der Normalverteilung.

2,35% + 0,15% = 2,5%

Ungefähr 2,5% der Männer an dieser Schule sind größer als 30 cm.

Wie viel Prozent der Männer an dieser Schule sind ungefähr zwischen 68 und 72 Zoll groß?

Lösung:

Schritt 1: Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von μ = 70 Zoll und einer Standardabweichung von σ = 2 Zoll.

Schritt 2: Eine Höhe von 68 Zoll und 72 Zoll ist eine Standardabweichung unter bzw. über dem Mittelwert. Addieren Sie einfach die Prozentsätze zwischen diesen beiden Punkten in der Normalverteilung.

34% + 34% = 68%

Ungefähr 68% der Männer an dieser Schule sind zwischen 68 und 72 Zoll groß.

So finden Sie die Anzahl mithilfe der Normalverteilung

Wir können die empirische Regel auch verwenden, um Fragen zu der Anzahl

Beispiel: Angenommen, das Gewicht einer bestimmten Otterart ist normalerweise mit einem Mittelwert von μ = 30 lbs und einer Standardabweichung von σ = 5 lbs verteilt.

Eine bestimmte Kolonie hat 200 dieser Otter. Wie viele dieser Otter wiegen ungefähr mehr als 35 Pfund?

Lösung:

Schritt 1: Skizzieren Sie eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von μ = 30 lbs und einer Standardabweichung von σ = 5 lbs.

Schritt 2: Ein Gewicht von 35 lbs ist eine Standardabweichung über dem Mittelwert. Addieren Sie die Prozentsätze über diesem Punkt in der Normalverteilung.

13.5% + 2.35% + 0.15% = 16%

Schritt 3: Da sich 200 Otter in der Kolonie befinden, sind 16% von 200 = 0,16 * 200 = 32

Ungefähr 32 der Otter in dieser Kolonie wiegen mehr als 35 Pfund.

Wie viele der Otter in dieser Kolonie wiegen ungefähr weniger als 30 Pfund?

Anstatt alle oben beschriebenen Schritte durchzugehen, können wir erkennen, dass der Median einer Normalverteilung gleich dem Mittelwert ist, der in diesem Fall 30 lbs beträgt. Dies bedeutet, dass die Hälfte der Otter mehr als 30 Pfund und die Hälfte weniger als 30 Pfund wiegt. Dies bedeutet, dass 50% der 200 Otter weniger als 30 lbs wiegen, also 0,5 * 200 = 100 Otter.

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