Eine Einführung in die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine der beliebtesten Statistiken. Um die Poisson-Verteilung zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst die Poisson-Experimente zu verstehen.

Poisson-Experimente

Ein Poisson-Experiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:

• Die Anzahl der Erfolge im Experiment kann gezählt werden.
• Die mittlere Anzahl von Erfolgen, die während eines bestimmten Zeitintervalls (oder Raums) auftreten, ist bekannt.
• Jedes Ergebnis ist unabhängig.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erfolg eintritt, ist proportional zur Größe des Intervalls.

Ein Beispiel für ein Poisson-Experiment ist die Anzahl der Geburten pro Stunde in einem bestimmten Krankenhaus. Angenommen, in einem bestimmten Krankenhaus werden durchschnittlich 10 Geburten pro Stunde verzeichnet. Dies ist ein Poisson-Experiment, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Die Anzahl der Erfolge im Experiment kann gezählt werden – Wir können die Anzahl der Geburten zählen.
• Die mittlere Anzahl von Erfolgen, die während eines bestimmten Zeitintervalls auftreten, ist bekannt. Es ist bekannt, dass durchschnittlich 10 Geburten pro Stunde auftreten.
• Jedes Ergebnis ist unabhängig – Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mutter während einer bestimmten Stunde ein Kind zur Welt bringt, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeit, dass eine andere Mutter ein Kind zur Welt bringt.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erfolg eintritt, ist proportional zur Größe des Intervalls. Je länger das Zeitintervall ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Geburt eintritt.

Wir können die Poisson-Verteilung verwenden, um Fragen zu Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf dieses Poisson-Experiment zu beantworten, wie zum Beispiel:

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde mehr als 12 Geburten auftreten?
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde weniger als 5 Geburten auftreten?
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde zwischen 8 und 11 Geburten auftreten?

Die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, k Erfolge in einem bestimmten Zeitintervall zu erzielen.

Wenn eine Zufallsvariable X einer Poisson-Verteilung folgt, kann die Wahrscheinlichkeit, dass X = k erfolgreich ist, durch die folgende Formel ermittelt werden:

P(X=k) = λ^k * e^{– λ} / k!

wo:

• λ: mittlere Anzahl von Erfolgen, die während eines bestimmten Intervalls auftreten
• k: Anzahl der Erfolge
• e: eine Konstante von ungefähr 2,71828

Angenommen, in einem bestimmten Krankenhaus werden durchschnittlich 2 Geburten pro Stunde verzeichnet. Wir können die obige Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass in einer bestimmten Stunde 0, 1, 2, 3 Geburten usw. auftreten:

P(X=0) = 2⁰ * e^{– 2} / 0! = 0.1353

P(X=1) = 2¹ * e^{– 2} / 1! = 0.2707

P(X=2) = 2² * e^{– 2} / 2! = 0.2707

P(X=3) = 2³ * e^{– 2} / 3! = 0.1805

Wir können die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Anzahl von Geburten bis unendlich berechnen. Wir erstellen dann ein einfaches Histogramm, um diese Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:

Berechnung der kumulativen Poisson-Wahrscheinlichkeiten

Es ist einfach, eine einzelne Poisson-Wahrscheinlichkeit (z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Krankenhaus in einer bestimmten Stunde 3 Geburten erleidet) mit der obigen Formel zu berechnen. Um jedoch die kumulativen Poisson-Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, müssen einzelne Wahrscheinlichkeiten hinzugefügt werden.

Angenommen, wir möchten wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Krankenhaus in einer bestimmten Stunde 1 oder weniger Geburten erleidet. Wir würden die folgende Formel verwenden, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.1353 + 0.2707 = 0.406

Dies wird als kumulative Wahrscheinlichkeit bezeichnet, da mehr als eine Wahrscheinlichkeit hinzugefügt werden muss. Wir können die kumulative Wahrscheinlichkeit, in einer bestimmten Stunde k oder weniger Geburten zu erleben, mit einer ähnlichen Formel berechnen:

P(X≤0) = P(X=0) = 0.1353

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.1353 + 0.2707 = 0.406

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767

Wir können diese kumulativen Wahrscheinlichkeiten für eine beliebige Anzahl von Geburten bis unendlich berechnen. Wir können dann ein Histogramm erstellen, um diese kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren:

Eigenschaften der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung hat die folgenden Eigenschaften:

• Der Mittelwert der Verteilung ist λ.
• Die Varianz der Verteilung beträgt ebenfalls λ.
• Die Standardabweichung der Verteilung beträgt √λ.
• Angenommen, in einem Krankenhaus werden durchschnittlich 2 Geburten pro Stunde verzeichnet.
• Die mittlere Anzahl von Geburten, die wir in einer bestimmten Stunde erwarten würden, beträgt λ = 2 Geburten.
• Die Varianz in der Anzahl der Geburten, die wir erwarten würden, ist λ = 2 Geburten.

Probleme mit der Poisson-Verteilungspraxis

Verwenden Sie die folgenden Übungsprobleme, um Ihr Wissen über die Poisson-Verteilung zu testen.

Problem 1

Frage: Es ist bekannt, dass eine bestimmte Website 10 Verkäufe pro Stunde erzielt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Website in einer bestimmten Stunde genau 8 Verkäufe tätigt?

Antwort: Unter Verwendung des Poisson-Verteilungsrechners mit λ = 10 und x = 8 ergibt sich P(X=8) = 0,1126.

Problem 2

Frage: Es ist bekannt, dass ein bestimmter Makler durchschnittlich 5 Verkäufe pro Monat erzielt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einem bestimmten Monat mehr als 7 Verkäufe tätigt?

Antwort: Unter Verwendung des Poisson-Verteilungsrechners mit λ = 5 und x = 7 ergibt sich P(X>7) = 0,13337.

Problem 3

Frage: Es ist bekannt, dass ein bestimmtes Krankenhaus 4 Geburten pro Stunde erlebt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde 4 oder weniger Geburten auftreten?

Antwort: Unter Verwendung des Poisson-Verteilungsrechners mit λ = 4 und x = 4 stellen wir fest, dass P(X≤4) = 0,62884 ist.