Eine Einführung in die hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, k Objekte mit einem bestimmten Merkmal in n Zeichnungen ersatzlos aus einer endlichen Population der Größe N auszuwählen, die K Objekte mit diesem Merkmal enthält.

Wenn eine Zufallsvariable X einer hypergeometrischen Verteilung folgt, kann die Wahrscheinlichkeit der Auswahl von k Objekten mit einem bestimmten Merkmal durch die folgende Formel ermittelt werden:

P(X = k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

wo:

• N: Bevölkerungsgröße
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal
• n: Stichprobengröße
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal
• _K C _k: Anzahl der Kombinationen von K Dingen, die k gleichzeitig genommen wurden

Zum Beispiel gibt es 4 Königinnen in einem Standardstapel von 52 Karten. Angenommen, wir wählen zufällig eine Karte aus einem Deck aus und wählen dann ersatzlos eine andere Karte aus dem Deck aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Königinnen sind?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Bevölkerungsgröße = 52 Karten
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 4 Königinnen
• n: Stichprobengröße = 2 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal = 2 Königinnen

Wenn wir diese Zahlen in die Formel einfügen, ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:

P(X = 2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6 · 1/1326 = 0,00452.

Dies sollte intuitiv sinnvoll sein. Wenn Sie sich vorstellen, zwei Karten nacheinander aus einem Stapel zu ziehen, sollte die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Königinnen sind, sehr gering sein.

Eigenschaften der hypergeometrischen Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung hat folgende Eigenschaften:

Der Mittelwert der Verteilung ist (nK) / N.

Die Varianz der Verteilung ist (nK) (NK) (Nn) / (N ² (n-1))

Probleme mit der hypergeometrischen Verteilungspraxis

Verwenden Sie die folgenden Übungsprobleme, um Ihr Wissen über die hypergeometrische Verteilung zu testen.

Problem 1

Frage: Angenommen, wir wählen zufällig vier Karten aus einem Deck ohne Zurücklegen aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der Karten Königinnen sind?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Bevölkerungsgröße = 52 Karten
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 4 Königinnen
• n: Stichprobengröße = 4 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal = 2 Königinnen

Wenn wir diese Zahlen in den hypergeometrischen Verteilungsrechner einfügen, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,025.

Problem 2

Frage: Eine Urne enthält 3 rote und 5 grüne Kugeln. Sie wählen zufällig 4 Bälle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 2 rote Kugeln auswählen?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Populationsgröße = 8 Bälle
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 3 rote Kugeln
• n: Stichprobengröße = 4 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Probe mit einem bestimmten Merkmal = 2 rote Kugeln

Wenn Sie diese Zahlen in den Hypergeometrischen Verteilungsrechner eingeben, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,42857.

Problem 3

Frage: Ein Korb enthält 7 lila Murmeln und 3 rosa Murmeln. Sie wählen zufällig 6 Murmeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau 3 rosa Murmeln auswählen?

Um dies zu beantworten, können wir die hypergeometrische Verteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• N: Populationsgröße = 10 Murmeln
• K: Anzahl der Objekte in der Population mit einem bestimmten Merkmal = 3 rosa Kugeln
• n: Stichprobengröße = 6 Ziehungen
• k: Anzahl der Objekte in der Probe mit einem bestimmten Merkmal = 3 rosa Kugeln

Wenn wir diese Zahlen in einen hypergeometrischen Verteilungsrechner einfügen, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,16667.