Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Definition, Formel und Beispiel

Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest wird verwendet, um festzustellen, ob zwischen zwei kategorialen Variablen eine signifikante Assoziation besteht oder nicht.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung eines Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests.
• Die Formel zur Durchführung eines Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Motivation

Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest kann verwendet werden, um festzustellen, ob eine Assoziation zwischen zwei kategorialen Variablen in vielen verschiedenen Einstellungen besteht. Hier einige Beispiele:

• Wir möchten wissen, ob das Geschlecht mit der Präferenz der politischen Parteien zusammenhängt, also befragen wir 500 Wähler und erfassen deren Geschlecht und Präferenz der politischen Parteien.
• Wir möchten wissen, ob die Lieblingsfarbe einer Person mit ihrem Lieblingssport zusammenhängt. Deshalb befragen wir 100 Personen und fragen sie nach ihren Vorlieben für beide.
• Wir möchten wissen, ob Bildungsniveau und Familienstand miteinander verbunden sind, und sammeln daher Daten zu diesen beiden Variablen anhand einer einfachen Zufallsstichprobe von 50 Personen.

In jedem dieser Szenarien möchten wir wissen, ob zwei kategoriale Variablen miteinander verknüpft sind. In jedem Szenario können wir einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest verwenden, um festzustellen, ob eine statistisch signifikante Assoziation zwischen den Variablen besteht.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Formel

Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest verwendet die folgenden Null- und Alternativhypothesen:

• H ₀: (Nullhypothese) Die beiden Variablen sind unabhängig.
• H ₁: (alternative Hypothese) Die beiden Variablen sind nicht unabhängig. (d.h. sie sind verbunden)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Chi-Quadrat-Teststatistik X ² zu berechnen:

X ² = Σ (OE) ² / E.

wo:

• Σ: ist ein ausgefallenes Symbol, das „Summe“ bedeutet
• O: beobachteter Wert
• E: erwarteter Wert

Wenn der p-Wert, der der Teststatistik X ² mit (# Zeilen-1) * (# Spalten-1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau ist, können Sie die Nullhypothese ablehnen.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Beispiel

S uppose wir wissen wollen, ob oder nicht das Geschlecht mit politischer Parteipräferenz verbunden ist. Wir nehmen eine einfache Zufallsstichprobe von 500 Wählern und befragen sie nach ihren Präferenzen für politische Parteien. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Umfrage:

	Republikaner	Demokrat	Unabhängig	Gesamt
Männlich	120	90	40	250
Weiblich	110	95	45	250
Gesamt	230	185	85	500

Führen Sie die folgenden Schritte aus, um einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest durchzuführen, um festzustellen, ob das Geschlecht mit der Präferenz der politischen Partei zusammenhängt.

Schritt 1: Definieren Sie die Hypothesen.

Wir werden den Chi-Quadrat-Test der Unabhängigkeit unter Verwendung der folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀: Geschlecht und Präferenz der politischen Parteien sind unabhängig.
• H ₁: Geschlecht und Präferenz der politischen Parteien sind nicht unabhängig.

Schritt 2: Berechnen Sie die erwarteten Werte.

Als nächstes berechnen wir die erwarteten Werte für jede Zelle in der Kontingenztabelle unter Verwendung der folgenden Formel:

Erwarteter Wert = (Zeilensumme * Spaltensumme) / Tabellensumme.

Beispielsweise beträgt der erwartete Wert für männliche Republikaner: (230 * 250) / 500 = 115.

Wir können diese Formel wiederholen, um den erwarteten Wert für jede Zelle in der Tabelle zu erhalten:

	Republikaner	Demokrat	Unabhängig	Gesamt
Männlich	115	92.5	42.5	250
Weiblich	115	92.5	42.5	250
Gesamt	230	185	85	500

Schritt 3: Berechnen Sie (OE) ² / E für jede Zelle in der Tabelle.

Als nächstes berechnen wir (OE) ² / E für jede Zelle in der Tabelle, wobei:

• O: beobachteter Wert
• E: erwarteter Wert

Zum Beispiel würde Male Republicans einen Wert von: ^{(120-115) 2/115 = 0,2174.}

Wir können diese Formel für jede Zelle in der Tabelle wiederholen:

	Republikaner	Demokrat	Unabhängig
Männlich	0,2174	0,0676	0,1471
Weiblich	0,2174	0,0676	0,1471

Schritt 4: Berechnen Sie die Teststatistik X ² und den entsprechenden p-Wert.

X ² = Σ (OE) ² / E = 0,2174 + 0,2174 + 0,0676 + 0,0676 + 0,1471 + 0,1471 = 0,8642

Der mit X ² = 0,8642 und (2-1) * (3-1) = 2 Freiheitsgraden verbundene p-Wert beträgt 0,649198.

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert nicht kleiner als 0,05 ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Dies bedeutet, dass wir nicht genügend Beweise haben, um zu sagen, dass ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Präferenz der politischen Parteien besteht.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest mit verschiedenen statistischen Programmen durchführen:

Wie man einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest in Stata durchführt
So führen Sie einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest in Excel durch
So führen Sie einen Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest in SPSS durch
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest auf einem TI-84-Rechner