A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: Definition + Beispiel

A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt, nachdem neue Informationen berücksichtigt wurden.

Zum Beispiel könnten wir daran interessiert sein, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses „A“ zu ermitteln, nachdem wir ein gerade aufgetretenes Ereignis „B“ berücksichtigt haben. Wir könnten diese hintere Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der folgenden Formel berechnen:

P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)

wo:

• P(A|B) = die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B aufgetreten ist. Beachten Sie, dass „|“ = „gegeben“ bedeutet.
• P(A) = die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A auftritt.
• P(B) = die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt.
• P(B|A) = die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis B, vorausgesetzt, dass Ereignis A aufgetreten ist.

Beispiel: Berechnung der A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Ein Wald besteht aus 20% Eichen und 80% Ahornbäumen. Angenommen, es ist bekannt, dass 90% der Eichen gesund sind, während nur 50% der Ahornbäume gesund sind. Angenommen, Sie können aus der Ferne erkennen, dass ein bestimmter Baum gesund ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Baum eine Eiche ist?

Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A auftritt, wenn Ereignis B aufgetreten ist, wie folgt ist:

P(A | B) = P(A) · P(B | A) / P(B)

In diesem Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Baum eine Eiche ist, vorausgesetzt, der Baum ist gesund:

P(Eiche | Gesund) = P(Eiche) * P(Gesund | Eiche) / P(Gesund)

P(Eiche) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Baum eine Eiche ist, beträgt 0,2, da 20% aller Bäume im Wald Eichen sind.

P(gesund) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Baum gesund ist, kann berechnet werden als (0,20) * (0,9) + (0,8) * (0,5) = 0,58.

P(Gesund | Eiche) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baum gesund ist, da es sich um eine Eiche handelt, beträgt 0,9, da uns mitgeteilt wurde, dass 90% der Eichen gesund sind.

Anhand dieser drei Zahlen können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass der Baum eine Eiche ist, da er gesund ist:

P(Eiche | gesund) = P(Eiche) * P(gesund | Eiche) / P(gesund) = (0,2) * (0,9) / (0,58) = 0,3103.

Nehmen wir für ein intuitives Verständnis dieser Wahrscheinlichkeit an, dass das folgende Raster diesen Wald mit 100 Bäumen darstellt. Genau 20 der Bäume sind Eichen und 18 von ihnen sind gesund. Die anderen 80 Bäume sind Ahorn und 40 von ihnen sind gesund.

(O = Eiche, M = Ahorn, Grün = Gesund, Rot = Ungesund)

Von allen Bäumen sind genau 58 gesund und 18 davon sind Eichen. Wenn wir also wissen, dass wir einen gesunden Baum ausgewählt haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Eiche handelt, 18/58 = 0,3103.

Wann sollten Sie die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit verwenden?

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, einschließlich Finanzen, Medizin, Wirtschaft und Wettervorhersage.

Der Sinn der Verwendung von A-posterioren Wahrscheinlichkeiten besteht darin, eine frühere Überzeugung, die wir über etwas hatten, zu aktualisieren, sobald wir neue Informationen erhalten.

Wir erinnern uns im vorherigen Beispiel daran, dass wir wussten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Baum im Wald Eiche ist, 20% beträgt. Dies ist als A-priori-Wahrscheinlichkeit bekannt. Wenn wir einfach einen Baum zufällig auswählten, wussten wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Eiche handelt, 0,20 betrug.

Sobald wir jedoch die neue Information erhalten hatten, dass der von uns ausgewählte Baum gesund war, konnten wir diese neuen Informationen verwenden, um zu bestimmen, dass die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, dass dieser Baum eine Eiche ist, stattdessen 0,3103 betrug.

In der realen Welt stoßen die Menschen ständig auf neue Informationen. Diese neuen Informationen helfen uns, unsere früheren Überzeugungen zu aktualisieren. In statistischer Hinsicht bedeutet dies, dass wir in der Lage sind, hintere Wahrscheinlichkeiten für auftretende Ereignisse zu generieren, was uns hilft, ein genaueres Verständnis der Welt zu erlangen und genauere Vorhersagen über zukünftige Ereignisse zu treffen.

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