So berechnen Sie Schiefe & Kurtosis in R

In der Statistik sind Schiefe und Kurtosis zwei Möglichkeiten, um die Form einer Verteilung zu messen.

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. Dieser Wert kann positiv oder negativ sein.

• Ein negativer Versatz zeigt an, dass es sich um eine nach links geneigte Verteilung handelt, die sich in Richtung negativerer Werte erstreckt.
• Ein positiver Versatz zeigt an, dass es sich um eine nach rechts geneigte Verteilung handelt, was sich in Richtung positiverer Werte erstreckt.
• Ein Wert von Null zeigt an, dass die Verteilung überhaupt keine Schiefe aufweist, was bedeutet, dass die Verteilung perfekt symmetrisch ist.

Die Kurtosis ist ein Maß dafür, ob eine Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung eine starke oder weniger Starke links- oder rechtsschiefe Verteilung hat.

• Die Kurtosis einer Normalverteilung beträgt 3.
• Wenn eine gegebene Verteilung eine Kurtosis von weniger als 3 aufweist, wird sie als platykurtisch bezeichnet, was bedeutet, dass sie dazu neigt, immer weniger extreme Ausreißer als die Normalverteilung zu erzeugen.
• Wenn eine bestimmte Verteilung eine Kurtosis von mehr als 3 aufweist, wird sie als leptokurtisch bezeichnet, was bedeutet, dass sie tendenziell mehr Ausreißer als die Normalverteilung erzeugt.

Hinweis: Einige Formeln (Fisher-Definition) subtrahieren 3 von der Kurtosis, um den Vergleich mit der Normalverteilung zu erleichtern. Unter Verwendung dieser Definition hätte eine Verteilung eine Kurtosis größer als eine Normalverteilung, wenn sie einen Kurtosiswert größer als 0 hätte.

In diesem Tutorial wird erklärt, wie sowohl die Schiefe als auch die Kurtosis eines bestimmten Datensatzes in R berechnet werden.

Beispiel: Schiefe & Kurtosis in R

Angenommen, wir haben den folgenden Datensatz:

data = c(88, 95, 92, 97, 96, 97, 94, 86, 91, 95, 97, 88, 85, 76, 68)

Wir können die Verteilung der Werte in diesem Datensatz schnell visualisieren, indem wir ein Histogramm erstellen:

hist(data, col='steelblue')

Aus dem Histogramm können wir erkennen, dass die Verteilung linksgerichtet zu sein scheint. Das heißt, mehr Werte konzentrieren sich auf die rechte Seite der Verteilung.

Um die Schiefe und Kurtosis dieses Datensatzes zu berechnen, können wir die Funktionen skewness() und kurtosis() aus der moments-Bibliothek in R verwenden:

library(moments)

#Schiefe brechnen
skewness(data)

[1] -1.391777

#Kurtosis berechnen
kurtosis(data)

[1] 4.177865

Die Schiefe beträgt -1,391777 und die Kurtosis 4,177865.

Da die Schiefe negativ ist, zeigt dies an, dass die Verteilung nach links geneigt ist. Dies bestätigt, was wir im Histogramm gesehen haben.

Da die Kurtosis größer als 3 ist, weist dies darauf hin, dass die Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung mehr Werte in den Schwänzen aufweist.

Die moments-Bibliothek bietet auch die Funktion jarque.test(), mit der ein Anpassungstest durchgeführt wird, mit dem festgestellt wird, ob die Stichprobendaten eine Schiefe und Kurtosis aufweisen, die einer Normalverteilung entsprechen. Die Null- und Alternativhypothesen dieses Tests lauten wie folgt:

Nullhypothese: Der Datensatz weist eine Schiefe und Kurtosis auf, die einer Normalverteilung entsprechen.

Alternative Hypothese: Der Datensatz weist eine Schiefe und Kurtosis auf, die nicht mit einer Normalverteilung übereinstimmen.

Der folgende Code zeigt, wie dieser Test durchgeführt wird:

jarque.test(data)

    Jarque-Bera Normality Test

data:  data
JB = 5.7097, p-value = 0.05756
alternative hypothesis: greater

Der p-Wert des Tests beträgt 0,05756. Da dieser Wert nicht kleiner als α = 0,05 ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Wir haben nicht genügend Beweise, um zu sagen, dass dieser Datensatz eine Schiefe und Kurtosis aufweist, die sich von der Normalverteilung unterscheidet.

Die vollständige Dokumentation zur moments-Bibliothek finden Sie hier.

Bonus: Schiefe & Kurtosis Rechner

Sie können die Schiefe für einen bestimmten Datensatz auch mit dem Statologie-Schiefe- und Kurtosis-Rechner berechnen, der automatisch sowohl die Schiefe als auch die Kurtosis für einen bestimmten Datensatz berechnet.