So erstellen Sie ein Konfidenzintervall mithilfe der F-Verteilung

Um festzustellen, ob die Varianzen zweier Populationen gleich sind, können wir das Varianzverhältnis σ ²₁ / σ ²₂ berechnen, wobei σ ²₁ die Varianz von Population 1 und σ ²₂ die Varianz von Population 2 ist.

Um das wahre Populationsvarianzverhältnis abzuschätzen, nehmen wir normalerweise eine einfache Zufallsstichprobe aus jeder Population und berechnen das Stichprobenvarianzverhältnis s ₁² / s ₂², wobei s ₁² und s ₂² die Stichprobenvarianzen für Stichprobe 1 und Stichprobe sind 2.

Bei diesem Test wird angenommen, dass sowohl s ₁² als auch s ₂² aus unabhängigen Proben der Größe n ₁ und n ₂ berechnet werden, die beide aus normalverteilten Populationen stammen.

Je weiter dieses Verhältnis von eins entfernt ist, desto stärker sind die Hinweise auf ungleiche Populationsabweichungen.

Das (1-α) 100%-Konfidenzintervall für σ ²₁ / σ ²₂ ist definiert als:

(s ₁² / s ₂² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α / 2} ≤ σ ²₁ / σ ²₂ ≤ (s ₁² / s ₂² ) * F _{n 2 -1, n 1 -1,α / 2}

wobei F _{n 2 -1, n 1 -1, α / 2} und F _{n 1 -1, n 2 -1,α / 2} sind die kritischen Werte aus der F-Verteilung für das gewählte Signifikanzniveau α.

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie ein Konfidenzintervall für σ ²₁ / σ ²₂ mit drei verschiedenen Methoden erstellt wird:

• Von Hand
• Verwenden von Microsoft Excel
• Verwendung der Statistiksoftware R.

Für jedes der folgenden Beispiele werden die folgenden Informationen verwendet:

• α = 0,05
• n ₁ = 16
• n ₂ = 11
• s ₁² = 28,2
• s ₂² = 19,3

Erstellen eines Konfidenzintervalls von Hand

Um ein Konfidenzintervall für σ ²₁ / σ ²₂ von Hand zu berechnen, geben wir einfach die Zahlen in die Konfidenzintervallformel ein:

(s ₁² / s ₂² ) * F _{n1-1, n2-1, α / 2} ≤ σ ²₁ / σ ²₂ ≤ (s ₁² / s ₂² ) * F _{n2-1, n1-1,α / 2}

Die einzigen Zahlen, die uns fehlen, sind die kritischen Werte. Glücklicherweise können wir diese kritischen Werte in der F-Verteilungstabelle finden :

F _{n2-1, n1-1, α / 2} = F _{10, 15, 0,025} = 3,0602

F _{n1-1, n2-1,α / 2} = 1 / F _{15, 10, 0,025} = 1 / 3,5217 = 0,2839

(Klicken Sie, um die Tabelle zu vergrößern.)

Jetzt können wir alle Zahlen in die Konfidenzintervallformel einfügen:

(s ₁² / s ₂² ) * F _{n1-1, n2-1, α / 2} ≤ σ ²₁ / σ ²₂ ≤ (s ₁² / s ₂² ) * F _{n2-1, n1-1,α / 2}

(28,2 / 19,3) * (0,2839) ≤ σ ²₁ / σ ²₂ ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)

0,4148 ≤ σ ²₁ / σ ²₂ ≤ 4,4714

Somit beträgt das 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der Populationsvarianzen (0,4148, 4,4714).

Erstellen eines Konfidenzintervalls mit Excel

Das folgende Bild zeigt, wie ein 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der Populationsabweichungen in Excel berechnet wird. Die unteren und oberen Grenzen des Konfidenzintervalls werden in Spalte E angezeigt, und die Formel zum Ermitteln der unteren und oberen Grenzen wird in Spalte F angezeigt:

Somit beträgt das 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der Populationsvarianzen (0,4148, 4,4714). Dies entspricht dem, was wir erhalten haben, als wir das Konfidenzintervall von Hand berechnet haben.

Erstellen eines Konfidenzintervalls mit R

Der folgende Code zeigt, wie ein 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der Populationsvarianzen in R berechnet wird:

#Definieren Sie das Signifikanzniveau, die Stichprobengröße und die Stichprobenvarianzen
alpha <- 0,05
n1    <- 16
n2    <- 11
var1  <- 28.2
var2  <- 19.3

#Definieren Sie kritische F-Werte
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)
lower_bound <- (var1/var2) * lower_critupper_bound <- (var1/var2) * upper_crit
paste0("(", lower_bound, ", ", upper_bound, " )")
# [1] (0,414899337980266, 4,47137571035219)

Somit beträgt das 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der Populationsvarianzen (0,4148, 4,4714). Dies entspricht dem, was wir erhalten haben, als wir das Konfidenzintervall von Hand berechnet haben.

Zusätzliche Ressourcen

Lesen der F-Verteilungstabelle
So finden Sie den kritischen F-Wert in Excel