Einstichproben-t-Test: Definition, Formel und Beispiel

Ein Einstichproben-t-Test wird verwendet, um zu testen, ob der Mittelwert einer Population einem bestimmten Wert entspricht oder nicht.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung eines T-Tests mit einer Stichprobe.
• Die Formel zur Durchführung eines T-Tests mit einer Stichprobe.
• Die Annahmen, die erfüllt sein sollten, um einen T-Test mit einer Stichprobe durchzuführen.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines T-Tests mit einer Stichprobe.

Einstichproben-t-Test: Motivation

Angenommen, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart in Florida 310 Pfund beträgt oder nicht. Da es in Florida Tausende von Schildkröten gibt, wäre es äußerst zeitaufwändig und kostspielig, jede einzelne Schildkröte zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 40 Schildkröten nehmen und das mittlere Gewicht der Schildkröten in dieser Stichprobe verwenden, um den wahren Populationsmittelwert zu schätzen:

Es ist jedoch praktisch garantiert, dass das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in unserer Stichprobe von 310 Pfund abweicht. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist oder nicht. Glücklicherweise können wir diese Frage mit einem T-Test mit einer Stichprobe beantworten.

Einstichproben-t-Test: Formel

Ein Einstichproben-t-Test verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H₀: μ = μ₀ (Populationsmittelwert entspricht einem hypothetischen Wert μ₀)

Die alternative Hypothese kann entweder zweiseitig, linksseitig oder rechtsseitig sein:

• H₁ (zweiseitig): μ ≠ μ₀ (Populationsmittelwert entspricht nicht einem hypothetischen Wert μ₀)
• H₁ (linksseitig): μ < μ₀ (Populationsmittelwert ist kleiner als ein hypothetischer Wert μ₀)
• H₁ (rechtsseitig): μ > μ₀ (Populationsmittelwert ist größer als ein hypothetischer Wert μ₀)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Teststatistik t zu berechnen:

t = (x – μ) / (s/√n)

wobei:

• x: Stichprobenmittelwert
• μ₀: hypothetischer Populationsmittelwert
• s: Standardabweichung der Probe
• n: Stichprobengröße

Wenn der p-Wert, der der Teststatistik t mit (n-1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau ist (allgemeine Auswahlmöglichkeiten sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen.

Einstichproben-t-Test: Annahmen

Damit die Ergebnisse eines Einstichproben-t-Tests gültig sind, sollten die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die untersuchte Variable sollte entweder eine Intervall- oder eine Verhältnisvariable sein.
• Die Beobachtungen in der Stichprobe sollten unabhängig sein.
• Die untersuchte Variable sollte ungefähr normal verteilt sein. Sie können diese Annahme überprüfen, indem Sie ein Histogramm erstellen und visuell prüfen, ob die Verteilung ungefähr eine „Glockenform“ hat.
• Die untersuchte Variable sollte keine Ausreißer haben. Sie können diese Annahme überprüfen, indem Sie ein Boxplot erstellen und visuell nach Ausreißern suchen.

Einstichproben-t-Test: Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart 310 Pfund beträgt oder nicht. Um dies zu testen, führen Sie einen t-Test mit einer Stichprobe auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 durch, indem Sie die folgenden Schritte ausführen:

Schritt 1: Sammeln Sie die Beispieldaten.

Angenommen, wir sammeln eine zufällige Stichprobe von Schildkröten mit den folgenden Informationen:

• Probengröße n = 40
• Probenmittelgewicht x = 300
• Standardabweichung der Probe s = 18,5

Schritt 2: Definieren Sie die Hypothesen.

Wir werden den Einstichproben-t-Test mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H₀: μ = 310 (Populationsmittelwert entspricht 310 Pfund)
• H₁: μ ≠ 310 (Bevölkerungsdurchschnitt ist nicht gleich 310 Pfund)

Schritt 3: Berechnen Sie die Teststatistik t.

t = (x – μ) / (s/√n) = (300-310) / (18.5/√40) = -3.4187

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Teststatistik t.

Folgende Werte ergeben sich: Der P-Wert beträgt bei t = -3.4817 und Freiheitsgraden von = n-1 = 40-1 = 39 ist 0.00149.

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert kleiner als unser Signifikanzniveau α = 0,05 ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir haben genügend Beweise, um zu sagen, dass das Durchschnittsgewicht dieser Schildkrötenart nicht gleich 310 Pfund ist.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie einen T-Test mit einer Stichprobe mit verschiedenen statistischen Programmen durchführen:

So führen Sie einen One-Sample-T-Test in Excel durch
So führen Sie einen One-Sample-T-Test in SPSS durch
So führen Sie einen One-Sample-T-Test in Stata durch
So führen Sie einen One-Sample-T-Test auf einem TI-84-Rechner durch