Einfaktorielle ANOVA: Definition, Formel und Beispiel

Eine einfaktorielle ANOVA („Varianzanalyse“) vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr unabhängigen Gruppen, um festzustellen, ob zwischen den entsprechenden Populationsmitteln ein statistisch signifikanter Unterschied besteht.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung einer einfaktorielle ANOVA.
• Die Annahmen, die erfüllt sein sollten, um eine einfaktorielleANOVA durchzuführen.
• Der Prozess zum Durchführen einer einfaktorielle ANOVA.
• Ein Beispiel für die Durchführung einer einfaktorielle ANOVA.

Einfaktorielle ANOVA: Motivation

Angenommen, wir möchten wissen, ob drei verschiedene Prüfungsvorbereitungsprogramme zu unterschiedlichen Durchschnittswerten bei einer College-Aufnahmeprüfung führen. Da es im ganzen Land Millionen von Schülern gibt, wäre es zu zeitaufwändig und kostspielig, zu jedem Schüler zu gehen und ihn eines der Prüfungsvorbereitungsprogramme nutzen zu lassen.

Stattdessen können wir drei Zufallsstichproben von 100 Studenten aus der Bevölkerung auswählen und jeder Stichprobe erlauben, eines der drei Testvorbereitungsprogramme zur Vorbereitung auf die Prüfung zu verwenden. Dann könnten wir die Ergebnisse für jeden Schüler aufzeichnen, sobald er die Prüfung abgelegt hat.

Es ist jedoch praktisch garantiert, dass die durchschnittliche Prüfungspunktzahl zwischen den drei Stichproben zumindest geringfügig abweicht. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist oder nicht. Glücklicherweise können wir diese Frage mit einer einfaktoriellen ANOVA beantworten.

Einfaktorielle ANOVA: Annahmen

Damit die Ergebnisse einer einfaktoriellen ANOVA gültig sind, sollten die folgenden Annahmen erfüllt sein:

1. Normalverteilung – Jede Stichprobe wurde aus einer normalverteilten Population gezogen.
2. Gleiche Varianzen – Die Varianzen der Populationen, aus denen die Proben stammen, sind gleich.
3. Unabhängigkeit – Die Beobachtungen in jeder Gruppe sind unabhängig voneinander und die Beobachtungen innerhalb der Gruppen wurden durch eine Zufallsstichprobe erhalten.

Einfaktorielle ANOVA: Der Prozess

Eine einfaktorielle ANOVA verwendet die folgenden Null- und Alternativhypothesen:

• H₀ (Nullhypothese): μ₁ = μ₂ = μ₃ = … = μ_k (alle Populationsmittelwerte sind gleich)
• H₁ (Nullhypothese): Mindestens ein Populationsmittelwert unterscheidet sich vom Rest

In der Regel verwenden Sie eine statistische Software (z.B. R, Excel, Stata, SPSS usw.), um eine einfaktorielle ANOVA durchzuführen, da die manuelle Durchführung umständlich ist.

Unabhängig davon, welche Software Sie verwenden, erhalten Sie die folgende Tabelle als Ausgabe:

wobei:

• SSR: Regressionssumme der Quadrate
• SSE: Fehlersumme der Quadrate
• SST: Gesamtsumme der Quadrate (SST = SSR + SSE)
• dfr: Regressionsfreiheitsgrade (dfr = k-1)
• dfe: Fehlerfreiheitsgrade (dfe = n-k)
• dft: Gesamtfreiheitsgrade (dft = n-1)
• k: Gesamtzahl der Gruppen
• n: Gesamtbeobachtungen
• MSR: Regressionsmittelquadrat (MSR = SSR / dfr)
• MSE: Fehlermittelwertquadrat (MSE = SSE / dfe)
• F: Die F-Teststatistik (F = MSR / MSE)
• p: Der p-Wert, der Fdfr, dfe entspricht

Wenn der p-Wert kleiner als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau ist (z. B. 0,05), können Sie die Nullhypothese ablehnen und daraus schließen, dass sich mindestens eines der Populationsmittelwerte von den anderen unterscheidet.

Hinweis: Wenn Sie die Nullhypothese ablehnen, bedeutet dies, dass sich mindestens eines der Populationsmittelwerte von den anderen unterscheidet, die ANOVA-Tabelle jedoch nicht angibt, welche Populationsmittelwerte unterschiedlich sind. Um dies festzustellen, müssen Sie Post-hoc-Tests durchführen, die auch als „Mehrfachvergleichstests“ bezeichnet werden.

Einfaktorielle ANOVA: Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob drei verschiedene Prüfungsvorbereitungsprogramme bei einer bestimmten Prüfung zu unterschiedlichen Durchschnittswerten führen. Um dies zu testen, rekrutieren wir 30 Studenten, um an einer Studie teilzunehmen, und teilen sie in drei Gruppen auf. Die Schüler jeder Gruppe werden nach dem Zufallsprinzip ausgewählt, eines der drei Prüfungsvorbereitungsprogramme für die nächsten drei Wochen zur Vorbereitung auf eine Prüfung zu verwenden. Am Ende der drei Wochen legen alle Schüler die gleiche Prüfung ab.

Die Prüfungsergebnisse für jede Gruppe sind nachstehend aufgeführt:

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Artikeln wird erläutert, wie eine einfaktorielle ANOVA mit verschiedenen statistischen Softwareprogrammen durchgeführt wird:

So führen Sie eine einfaktorielle ANOVA in R durch