Binomialtest: Eine Erklärung + Beispiele

Das Verständnis von Binomialversuchen ist der erste Schritt zum Verständnis der Binomialverteilung.

Dieses Tutorial definiert ein Binomialversuch und enthält mehrere Beispiele für Experimente, die als Binomialversuche gelten und andere, die nicht dazu gehören.

Binomialtest: Definition

Ein Binomialtest ist ein Test mit den folgenden vier Eigenschaften:

1. Der Test besteht aus n wiederholten Versuchen. Die Zahl n kann ein beliebiger Betrag sein. Wenn wir zum Beispiel 100 Mal eine Münze werfen, ist n = 100.

2. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Wir nennen Ergebnisse oft entweder „Erfolg“ oder „Misserfolg“, aber ein „Erfolg“ ist nur eine Bezeichnung für etwas, das wir zählen. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, können wir Kopf als „Erfolg“ und Zahl als „Misserfolg“ bezeichnen.

3. Die mit p bezeichnete Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jeden Versuch gleich. Damit ein Experiment ein echtes Binomial-Experiment ist, muss die Wahrscheinlichkeit eines „Erfolgs“ für jeden Versuch gleich sein. Wenn wir beispielsweise eine Münze werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen („Erfolg“), jedes Mal gleich, wenn wir die Münze werfen.

4. Jeder Versuch ist unabhängig. Dies bedeutet einfach, dass das Ergebnis einer Studie das Ergebnis einer anderen Studie nicht beeinflusst. Angenommen, wir werfen eine Münze und sie landet auf den Köpfen. Die Tatsache, dass es auf Köpfen gelandet ist, ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit, dass es beim nächsten Schlag auf Köpfen landet. Jeder Flip (d.h. jeder „Versuch“) ist unabhängig.

Beispiele für den Binomialtest

Die folgende Tests sind alle Beispiele für Binomialtests.

Beispiel 1

Wirf 10 Mal eine Münze. Notieren Sie, wie oft es auf Zahl landet.

Dies ist ein Binomialtest, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 10 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Die Münze kann nur auf Kopf oder Zahl landen.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jeden Versuch gleich. Wenn wir „Erfolg“ als Landung auf dem Kopf definieren, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch genau 0,5.
• Jeder Versuch ist unabhängig. Das Ergebnis eines Münzwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Münzwurfs.

Beispiel 2

Wirf 20 Mal einen fairen 6-seitigen Würfel. Notieren Sie, wie oft eine 2 auftaucht.

Dies ist ein Binomialtest, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 20 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Wenn wir eine 2 als „Erfolg“ definieren, landet der Würfel jedes Mal entweder auf einer 2 (Erfolg) oder einer anderen Zahl (Fehler).
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jeden Versuch gleich. Für jeden Versuch beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf einer 2 landet, 1/6. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht von einem Versuch zum nächsten.
• Jeder Versuch ist unabhängig. Das Ergebnis eines Würfelwurfs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Würfelwurfs.

Beispiel 3

Tyler macht 70% seiner Freiwurfversuche. Angenommen, er macht 15 Versuche. Notieren Sie die Anzahl der Körbe, die er herstellt.

Dies ist ein Binomialtest, da es die folgenden vier Eigenschaften aufweist:

• Das Experiment besteht aus n wiederholten Versuchen. In diesem Fall gibt es 15 Versuche.
• Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Bei jedem Versuch macht Tyler entweder den Korb oder verfehlt ihn.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist für jeden Versuch gleich. Für jeden Versuch beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Tyler den Korb macht, 70%. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht von einem Versuch zum nächsten.
• Jeder Versuch ist unabhängig. Das Ergebnis eines Freiwurfversuchs hat keinen Einfluss auf das Ergebnis eines anderen Freiwurfversuchs.

Beispiele, die keine Binomialtests sind

Beispiel 1

Fragen Sie 100 Personen, wie alt sie sind.

Dies ist kein Binomialtest, da es mehr als zwei mögliche Ergebnisse gibt.

Beispiel 2

Wirf einen fairen 6-seitigen Würfel, bis eine 5 auftaucht.

Dies ist kein binomisches Experiment, weil es nicht eine vordefinierte n Anzahl der Versuche. Wir haben keine Ahnung, wie viele Rollen es dauern wird, bis eine 5 auftaucht.

Beispiel 3

Ziehe 5 Karten aus einem Kartenspiel.

Dies ist kein Binomialtest, da das Ergebnis eines Versuchs (z. B. Ziehen einer bestimmten Karte aus dem Stapel) das Ergebnis zukünftiger Versuche beeinflusst.

Ein Binomialtest Beispiel & Lösung

Das folgende Beispiel zeigt, wie eine Frage zu einem Binomialtest gelöst wird.

Sie werfen 10 Mal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau siebenmal auf den Köpfen landet?

Wann immer wir daran interessiert sind, die Wahrscheinlichkeit von n Erfolgen in einem Binomialtest zu ermitteln, müssen wir die folgende Formel verwenden:

P(genau k Erfolge) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

wo:

• n: die Anzahl der Versuche
• k: die Anzahl der Erfolge
• C: das Symbol für „Kombination“
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchs

Wenn wir diese Zahlen in die Formel einfügen, erhalten wir:

P(7 Köpfe) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719.

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze siebenmal auf den Köpfen landet, 0,11719.