Die allgemeine Multiplikationsregel (Erläuterung und Beispiele)

Die allgemeine Multiplikationsregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse, A und B, beide auftreten, wie folgt berechnet werden kann:

P(A und B) = P(A) · P(B | A)

Der vertikale Balken | bedeutet "gegeben". Somit kann P(B | A) als "die Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, vorausgesetzt, dass A aufgetreten ist" gelesen werden.

Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, ist P(B | A) einfach gleich P(B) und die Regel kann vereinfacht werden zu:

P(A und B) = P(A) · P(B)

Lassen Sie uns einige Beispiele für unabhängige und abhängige Ereignisse durchgehen, um zu sehen, wie wir diese allgemeine Multiplikationsregel in der Praxis anwenden können.

Die allgemeine Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele veranschaulichen, wie die allgemeine Multiplikationsregel verwendet wird, um Wahrscheinlichkeiten zu finden, die sich auf zwei abhängige Ereignisse beziehen. In jedem Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Ereignis eintritt, vom Ergebnis des ersten Ereignisses beeinflusst.

Beispiel 1: Kugeln in einer Urne

Eine Urne enthält 4 rote und 3 grüne Kugeln. Bob wird zufällig 2 Bälle aus der Urne auswählen, ohne sie zu ersetzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 rote Kugeln auswählt?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass er beim ersten Versuch einen roten Ball auswählt, beträgt 4/7. Sobald dieser Ball entfernt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er beim zweiten Versuch einen roten Ball auswählt, 3/6. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass er 2 rote Kugeln auswählt, wie folgt berechnet werden:

P(beide rot) = 4/7 * 3/7 ≤ 0,2249

Beispiel 2: Karten in einem Deck

Ein Kartenspiel enthält 26 schwarze und 26 rote Karten. Debbie wird zufällig 2 Karten aus dem Deck auswählen, ohne sie zu ersetzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 2 rote Karten wählt?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass sie beim ersten Versuch eine rote Karte auswählt, beträgt 26/52. Sobald diese Karte entfernt wurde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie beim zweiten Versuch eine rote Karte auswählt, 25/51. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass sie 2 rote Karten auswählt, wie folgt berechnet werden:

P(beide rot) = 26/52 * 25/51 ≤ 0,2451

Die allgemeine Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Verwendung der allgemeinen Multiplikationsregel zum Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten für zwei unabhängige Ereignisse. In jedem Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Ereignis eintritt, nicht vom Ergebnis des ersten Ereignisses beeinflusst.

Beispiel 1: Zwei Münzen werfen

Angenommen, wir werfen zwei Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Köpfen landen?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze auf Köpfen landet, beträgt 1/2. Egal auf welcher Seite die erste Münze landet, die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Münze auf Köpfen landet, beträgt ebenfalls 1/2. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen auf Köpfen landen, wie folgt berechnet werden:

P(beide landen auf Köpfen) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Beispiel 2: Zwei Würfel werfen

Angenommen, wir würfeln zwei Würfel gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel auf der Nummer 1 landen?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten Würfel auf „1“ landen, beträgt 1/6. Egal auf welcher Seite der erste Würfel landet, die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel auf „1“ landet, beträgt ebenfalls 1/6. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel auf „1“ landen, wie folgt berechnet werden:

P(beide landen auf "1") = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278