Zweistichproben-t-Test: Definition, Formel und Beispiel

Ein Zweichstichproben-t-Test wird verwendet, um zu testen, ob die Mittelwerte von zwei Populationen gleich sind oder nicht.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung eines Zweichstichproben-t-Tests.
• Die Formel zur Durchführung eines Zweichstichproben-t-Test.
• Die Annahmen, die erfüllt sein sollten, um einen Zweichstichproben-t-Test durchzuführen.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines Zweichstichproben-t-Tests.

Zweichstichproben-t-Test: Motivation

Angenommen, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht zwischen zwei verschiedenen Schildkrötenarten gleich ist oder nicht. Da es in jeder Population Tausende von Schildkröten gibt, wäre es zu zeitaufwändig und kostspielig, jede einzelne Schildkröte zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 15 Schildkröten aus jeder Population nehmen und das Durchschnittsgewicht in jeder Stichprobe verwenden, um zu bestimmen, ob das Durchschnittsgewicht zwischen den beiden Populationen gleich ist:

Es ist jedoch praktisch garantiert, dass das mittlere Gewicht zwischen den beiden Proben zumindest ein wenig unterschiedlich ist. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist oder nicht. Glücklicherweise können wir diese Frage mit einem Zweichstichproben-t-Test beantworten.

Zweichstichproben-t-Test: Formel

Ein Zweichstichproben-t-Test verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H ₀: μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)

Die alternative Hypothese kann entweder zweiseitig, linksseitig oder rechtsseitig sein:

• H ₁ (zweiseitig): μ ₁ ≠ μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind nicht gleich)
• H ₁ (linksseitig): μ ₁ <μ ₂ (Mittelwert der Population 1 ist kleiner als Mittelwert der Population 2)
• H ₁ (rechtsseitig): μ ₁ > μ ₂ (Mittelwert der Population 1 ist größer als Mittelwert der Population 2)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Teststatistik t zu berechnen:

Teststatistik: ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1 / n ₁ + 1 / n ₂ )

wobei x ₁ und x ₂ die Stichprobenmittelwerte sind, n ₁ und n ₂ die Stichprobengrößen sind und wobei s _p wie folgt berechnet wird:

s _p = √ (n ₁ -1) s ₁² + (n ₂ -1) s ₂² / (n ₁ + n ₂ -2)

wobei s ₁² und s ₂² die Stichprobenvarianzen sind.

Wenn der p-Wert, der der Teststatistik t mit (n ₁ + n ₂ -1) Freiheitsgraden entspricht, kleiner als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau ist (allgemeine Auswahlmöglichkeiten sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Null-Hypothese ablehnen.

Zweichstichproben-t-Test: Annahmen

Damit die Ergebnisse eines Zweichstichproben-t-Test gültig sind, sollten die folgenden Annahmen erfüllt sein:

• Die Beobachtungen in einer Stichprobe sollten unabhängig von den Beobachtungen in der anderen Stichprobe sein.
• Die Daten sollten ungefähr normal verteilt sein.
• Die beiden Proben sollten ungefähr die gleiche Varianz haben. Wenn diese Annahme nicht erfüllt ist, sollten Sie stattdessen den T-Test von Welch durchführen.

Zweichstichproben-t-Test: Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob das Durchschnittsgewicht zwischen zwei verschiedenen Schildkrötenarten gleich ist oder nicht. Um dies zu testen, führen Sie einen t-Test mit zwei Stichproben bei einem Signifikanzniveau von α = 0,05 mit den folgenden Schritten durch:

Schritt 1: Sammeln Sie die Beispieldaten.

Angenommen, wir sammeln eine zufällige Stichprobe von Schildkröten aus jeder Population mit den folgenden Informationen:

Probe 1:

• Probengröße n ₁ = 40
• Probenmittelgewicht x ₁ = 300
• Standardabweichung der Stichprobe s ₁ = 18,5

Probe 2:

• Probengröße n ₂ = 38
• Probenmittelgewicht x ₂ = 305
• Standardabweichung der Probe s ₂ = 16,7

Schritt 2: Definieren Sie die Hypothesen.

Wir werden den T-Test mit zwei Stichproben mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀: μ ₁ = μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind gleich)
• H ₁: μ ₁ ≠ μ ₂ (die beiden Populationsmittelwerte sind nicht gleich)

Schritt 3: Berechnen Sie die Teststatistik t.

Zunächst berechnen wir die gepoolte Standardabweichung s _p:

s _p = √ (n ₁ -1) s ₁² + (n ₂ -1) s ₂² / (n ₁ + n ₂ -2) = √ (40-1) 18,5 ² + (38-1) 16,7 ² / (40 + 38-2) = 17,647

Als nächstes berechnen wir die Teststatistik t :

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1 / n ₁ + 1 / n ₂ ) = (300-305) / 17,647 (√ 1/40 + 1/38 ) = -1,2508

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Teststatistik t.

Der mit t = -1,2508 und Freiheitsgraden = n ₁ + n ₂ -2 = 40 + 38-2 = 76 verbundene p-Wert beträgt 0,21484.

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert nicht kleiner als unser Signifikanzniveau α = 0,05 ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Wir haben nicht genügend Beweise, um zu sagen, dass das Durchschnittsgewicht der Schildkröten zwischen diesen beiden Populationen unterschiedlich ist.

Zusätzliche Ressourcen

In den folgenden Tutorials wird erläutert, wie Sie einen T-Test mit zwei Stichproben mit verschiedenen statistischen Programmen durchführen:

So führen Sie einen Zweichstichproben-t-Test in Excel durch
So führen Sie einen Zweichstichproben-t-Test in SPSS durch
So führen Sie einen Zweichstichproben-t-Test in Stata durch
So führen Sie einen Zweichstichproben-t-Test in Python durch
So führen Sie einen Zweichstichproben-t-Test auf einem TI-84-Rechner durch