Z-Test für zwei Proportionen: Definition, Formel und Beispiel

Ein Z-Test für zwei Proportionen wird verwendet, um auf einen Unterschied zwischen zwei Bevölkerungsanteilen zu testen.

In diesem Tutorium wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation für die Durchführung eines z-Tests mit zwei Proportionen.
• Die Formel zur Durchführung eines zweiproportionalen z-Tests.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines zweifach proportionalen z-Tests.

Z-Test für zwei Proportionen: Motivation

Angenommen, wir wollen wissen, ob es einen Unterschied zwischen dem Anteil der Einwohner, die ein bestimmtes Gesetz im Bezirk A unterstützen, und dem Anteil, der das Gesetz im Bezirk B unterstützt, gibt.

Da es in jedem Bezirk Tausende von Einwohnern gibt, würde es zu lange dauern und zu kostspielig sein, jeden einzelnen Einwohner in jedem Bezirk zu befragen.

Anstatt dessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von Einwohnern aus jedem Bezirk und verwenden den Anteil der Befürworter des Gesetzes in jeder Stichprobe, um den wahren Unterschied in den Anteilen zwischen den beiden Bezirken zu schätzen:

Es ist jedoch so gut wie sicher, dass der Anteil der Einwohner, die das Gesetz unterstützen, zwischen den beiden Stichproben zumindest ein wenig unterschiedlich ist. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist oder nicht. Glücklicherweise können wir diese Frage mit einem z-Test mit zwei Anteilen beantworten.

Z-Test für zwei Proportionen: Formel

Ein z-Test mit zwei Anteilen verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H₀: μ₁ = μ₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind gleich)

Die Alternativhypothese kann entweder zweischneidig, links- oder rechtsschneidig sein:

• H₁ (two-tailed): π₁ ≠ π₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind nicht gleich)
• H₁ (left-tailed): π₁ < π₂ (Anteil der Bevölkerung 1 ist kleiner als der Anteil der Bevölkerung 2)
• H₁ (right-tailed): π₁ > π₂ (Bevölkerungsanteil 1 ist größer als Bevölkerungsanteil 2)

Wir verwenden die folgende Formel, um die Teststatistik z zu berechnen:

z \= (p₁-p₂) / √p(1-p)(1/n₁+1/n₂)

wobei p₁ und p₂ die Stichprobenanteile sind, n₁ und n₂ die Stichprobenumfänge sind, und wobei p der gesamte gepoolte Anteil ist, der wie folgt berechnet wird:

p = (p₁n₁ + p₂n₂)/(n₁+n₂)

Wenn der p-Wert, der der Teststatistik z entspricht, kleiner ist als das von Ihnen gewählte Signifikanzniveau (übliche Werte sind 0,10, 0,05 und 0,01), dann können Sie die Nullhypothese zurückweisen.

Z-Test für zwei Proportionen: Beispiel

Angenommen, wir wollen wissen, ob es einen Unterschied zwischen dem Anteil der Einwohner, die ein bestimmtes Gesetz im Bezirk A unterstützen, und dem Anteil, der das Gesetz im Bezirk B unterstützt, gibt. Um dies zu testen, führen wir einen z-Test mit zwei Anteilen auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 durch und gehen dabei wie folgt vor:

Schritt 1: Erfassen der Stichprobendaten.

Angenommen, wir erheben eine Zufallsstichprobe von Einwohnern aus jedem Bezirk und erhalten die folgenden Informationen:

Stichprobe 1:

• Stichprobenumfang n₁ = 50
• Anteil der Befürworter des Gesetzes p₁ = 0,67

Beispiel 2:

• Stichprobenumfang n₂ = 50
• Anteil zu Gunsten des Gesetzes p₂ = 0,57

Schritt 2: Definieren der Hypothesen.

Wir führen den z-Test mit zwei Anteilen mit den folgenden Hypothesen durch:

• H₀: π₁ = π₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind gleich)
• H₁: π₁ ≠ π₂ (die beiden Bevölkerungsanteile sind nicht gleich)

Schritt 3: Berechnen Sie die Teststatistik z.

Zunächst wird der gesamte gepoolte Anteil berechnet:

p = (p₁n₁ + p₂n₂)/(n₁+n₂) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Als nächstes berechnen wir die Teststatistik z:

z \= (p₁-p₂) / √p(1-p)(1/n₁+1/n₂) = (.67-.57) / √.62(1-.62)(1/50+ 1/50) = 1,03

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Teststatistik z.

Gemäß dem Z-Wert zu P-Wert-Rechner beträgt der zweiseitige p-Wert für z = 1,03 0,30301.

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert nicht kleiner als unser Signifikanzniveau α = 0,05 ist, können wir die Nullhypothese nicht zurückweisen. Wir haben nicht genügend Beweise, um zu sagen, dass der Anteil der Einwohner, die dieses Gesetz unterstützen, in den beiden Bezirken unterschiedlich ist.

Hinweis: Sie können diesen gesamten Zwei-Prozent-Z-Test auch einfach mit dem Z-Test-Rechner für zwei Proportionen durchführen.

Zusätzliche Ressourcen

Z-Test-Rechner für zwei Proportionen