Z-Test für eine Proportion: Definition, Formel und Beispiel

Ein Z-Test für eine Proportion wird verwendet, um einen beobachteten Anteil mit einem theoretischen zu vergleichen.

Dieses Tutorial erklärt Folgendes:

• Die Motivation zur Durchführung eines einteiligen Z-Tests.
• Die Formel zum Durchführen eines einproportionalen Z-Tests.
• Ein Beispiel für die Durchführung eines einproportionalen Z-Tests.

Z-Test für eine Proportion: Motivation

Angenommen, wir möchten wissen, ob der Anteil der Menschen in einem bestimmten Landkreis, die ein bestimmtes Gesetz befürworten, 60% beträgt. Da es Tausende von Einwohnern im Landkreis gibt, wäre es zu kostspielig und zu zeitaufwändig, jeden Einwohner nach seiner Haltung zum Gesetz zu fragen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von Einwohnern auswählen und jeden fragen, ob er das Gesetz unterstützt oder nicht:

Es ist jedoch praktisch garantiert, dass sich der Anteil der Einwohner in der Stichprobe, die das Gesetz unterstützen, zumindest geringfügig von dem Anteil der Einwohner in der Gesamtbevölkerung unterscheidet, die das Gesetz unterstützen. Die Frage ist, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist. Glücklicherweise erlaubt uns ein einteiliger z-Test, diese Frage zu beantworten.

Z-Test für eine Proportion: Formel

Ein Z-Test für eine Proportion verwendet immer die folgende Nullhypothese:

• H ₀: p = p ₀ (Bevölkerungsanteil ist gleich einem hypothetischen Bevölkerungsanteil p ₀ )

Die Alternativhypothese kann entweder zweiseitig, linksseitig oder rechtsseitig sein:

• H ₁ (zweiseitig): p ≠ p ₀ (Bevölkerungsanteil ist nicht gleich einem hypothetischen Wert p ₀ )
• H ₁ (linksseitig): p < p ₀ (Bevölkerungsanteil ist kleiner als ein hypothetischer Wert p ₀ )
• H ₁ (rechtsseitig): p > p ₀ (Bevölkerungsanteil ist größer als ein hypothetischer Wert p ₀ )

Wir verwenden die folgende Formel, um die Teststatistik z zu berechnen:

z = (pp ₀ ) / √ p ₀ (1-p ₀ )/n

wo:

• p: beobachteter Stichprobenanteil
• p ₀: hypothetischer Bevölkerungsanteil
• n: Stichprobengröße

Wenn der p-Wert, der der Teststatistik z entspricht, kleiner als Ihr gewähltes Signifikanzniveau ist (übliche Auswahlmöglichkeiten sind 0,10, 0,05 und 0,01), können Sie die Nullhypothese ablehnen.

Z-Test für eine Proportion : Beispiel

Angenommen, wir möchten wissen, ob der Anteil der Einwohner eines bestimmten Landkreises, die ein bestimmtes Gesetz unterstützen, 60% beträgt. Um dies zu testen, wird ein Z-Test für eine Proportion auf dem Signifikanzniveau α = 0,05 mit den folgenden Schritten durchgeführt:

Schritt 1: Sammeln Sie die Beispieldaten.

Angenommen, wir befragen eine zufällige Stichprobe von Bewohnern und erhalten am Ende folgende Informationen:

• p: beobachteter Stichprobenanteil = 0,64
• p ₀: hypothetischer Bevölkerungsanteil = 0,60
• n: Stichprobengröße = 100

Schritt 2: Definieren Sie die Hypothesen.

Wir werden den Einstichproben-t-Test mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀: p = 0,60 (Bevölkerungsanteil ist gleich 0,60)
• H ₁: p ≠ 0,60 (Bevölkerungsanteil ist ungleich 0,60)

Schritt 3: Berechnen Sie die Teststatistik z .

z = (pp ₀ ) / p ₀ (1-p ₀ )/n = (.64 -.6) / √ .6 (1-.6)/100 = 0.816

Schritt 4: Berechnen Sie den p-Wert der Teststatistik z .

Gemäß dem Z-Score-zu-P-Wert-Rechner ist der zweiseitige p-Wert, der mit z = 0,816 verbunden ist, 0,4145.

Schritt 5: Ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Da dieser p-Wert nicht kleiner als unser Signifikanzniveau α = 0,05 ist, verwerfen wir die Nullhypothese nicht. Wir haben keine ausreichenden Beweise dafür, dass der Anteil der Einwohner, die das Gesetz unterstützen, von 0,60 abweicht.