Eine Einführung in die negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung (auch Pascal-Verteilung) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Fehlern auftritt, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von Bernoulli-Versuchen erzielt wird.

Eine Bernoulli-Studie ist ein Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen – „Erfolg“ oder „Misserfolg“ – und die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jeder Durchführung des Experiments gleich.

Ein Beispiel für einen Bernoulli-Prozess ist ein Münzwurf. Die Münze kann nur auf zwei Seiten landen (wir könnten Köpfe als „Erfolg“ und Schwänze als „Misserfolg“ bezeichnen) und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Wurf beträgt 0,5, vorausgesetzt, die Münze ist fair.

Wenn eine Zufallsvariable X einer negativen Binomialverteilung folgt, kann die Wahrscheinlichkeit, dass k Fehler auftreten, bevor insgesamt r Erfolge auftreten, durch die folgende Formel ermittelt werden:

P(X = k) = _{k + r – 1} C _k * (1 – p) ^r * p ^k

wo:

• k: Anzahl der Fehler
• r: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchs
• _{k + r-1} C _k: Anzahl der Kombinationen von (k + r-1) Dingen, die k gleichzeitig genommen wurden

Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als Landung auf dem Kopf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 6 Fehler auftreten, bevor insgesamt 4 Erfolge erzielt werden?

Um dies zu beantworten, können wir die Multinomialverteilung mit den folgenden Parametern verwenden:

• k: Anzahl der Fehler = 6
• r: Anzahl der Erfolge = 4
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch = 0,5

Wenn wir diese Zahlen in die Formel einfügen, ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:

P(X=6 failures) = _{6 + 4-1} C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625) * (.015625) = 0,08203.

Eigenschaften der negativen Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung hat folgende Eigenschaften:

Die mittlere Anzahl von Fehlern, die wir erwarten, bevor wir r Erfolge erzielen, beträgt pr / (1-p).

Die Varianz in der Anzahl der Fehler, die wir erwarten, bevor wir r Erfolge erzielen, beträgt pr / (1-p)².

Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als Landung auf dem Kopf.

Die mittlere Anzahl von Fehlern (z. B. Landung auf Schwänzen), die wir erwarten, bevor wir 4 Erfolge erzielen, wäre pr / (1-p) = (.5 * 4) / (1-.5) = 4.

Die Varianz in der Anzahl der Fehler, die wir erwarten, bevor wir 4 Erfolge erzielen, wäre pr / (1-p) ² = (.5 * 4) / (1-.5) ² = 8.

Probleme mit der negativen Binomialverteilung

Verwenden Sie die folgenden Übungsprobleme, um Ihr Wissen über die negative Binomialverteilung zu testen.

Problem 1

Frage: Angenommen, wir werfen eine Münze und definieren ein „erfolgreiches“ Ereignis als Landung auf dem Kopf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Fehler auftreten, bevor insgesamt 4 Erfolge erzielt werden?

Antwort: Unter Verwendung des Negativ-Binomialverteilungsrechners mit k = 3 Fehlern, r = 4 Erfolgen und p = 0,5 stellen wir fest, dass P(X = 3) = 0,15625.

Problem 2

Frage: Angenommen, wir gehen von Tür zu Tür und verkaufen Süßigkeiten. Wir halten es für einen „Erfolg“, wenn jemand einen Schokoriegel kauft. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person einen Schokoriegel kauft, beträgt 0,4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 8 Fehler auftreten, bevor wir insgesamt 5 Erfolge erzielen?

Antwort: Unter Verwendung des Negativ-Binomialverteilungsrechners mit k = 8 Fehlern, r = 5 Erfolgen und p = 0,4 finden wir, dass P(X = 8) = 0,08514.

Problem 3

Frage: Angenommen, wir werfen einen Würfel und definieren einen „erfolgreichen“ Wurf als Landung auf der Zahl 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel bei einem bestimmten Wurf auf einer 5 landet, beträgt 1/6 = 0,167. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Fehler auftreten, bevor insgesamt 3 Erfolge erzielt werden?

Antwort: Unter Verwendung des Negativ-Binomialverteilungsrechners mit k = 4 Fehlern, r = 3 Erfolgen und p = 0,167 ergibt sich P(X = 4) = 0,03364.