So erstellen Sie ein Vorhersageintervall in R

Ein lineares Regressionsmodell kann für zwei Dinge nützlich sein:

(1) Quantifizieren der Beziehung zwischen einer oder mehreren Prädiktorvariablen und einer Antwortvariablen.

(2) Verwenden des Modells zur Vorhersage zukünftiger Werte.

In Bezug auf (2) sind wir häufig daran interessiert, sowohl einen genauen Wert als auch ein Intervall vorherzusagen, das einen Bereich wahrscheinlicher Werte enthält, wenn wir ein Regressionsmodell verwenden, um zukünftige Werte vorherzusagen. Dieses Intervall wird als Vorhersageintervall bezeichnet.

Angenommen, wir passen ein einfaches lineares Regressionsmodell an, bei dem die Stunden als Prädiktorvariable und der Prüfungswert als Antwortvariable untersucht werden. Mit diesem Modell können wir vorhersagen, dass ein Student, der 6 Stunden studiert, eine Prüfungsnote von 91 erhält.

Da diese Vorhersage jedoch ungewiss ist, können wir ein Vorhersageintervall erstellen, das besagt, dass eine Wahrscheinlichkeit von 95% besteht, dass ein Student, der 6 Stunden lang studiert, eine Prüfungsnote zwischen 85 und 97 erhält. Dieser Wertebereich wird als 95%-Vorhersageintervall bezeichnet und ist für uns oft nützlicher, als nur den genauen vorhergesagten Wert zu kennen.

Um zu veranschaulichen, wie ein Vorhersageintervall in R erstellt wird, verwenden wir den integrierten MTCAR- Datensatz, der Informationen zu den Merkmalen mehrerer verschiedener Fahrzeuge enthält:

#Erste sechs Reihen von mtcars anzeigen
head(mtcars)

#                   mpg cyl disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
#Mazda RX4         21.0   6  160 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
#Mazda RX4 Wag     21.0   6  160 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
#Datsun 710        22.8   4  108  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
#Hornet 4 Drive    21.4   6  258 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
#Hornet Sportabout 18.7   8  360 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
#Valiant           18.1   6  225 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1

Zunächst passen wir ein einfaches lineares Regressionsmodell an, wobei disp als Prädiktorvariable und mpg als Antwortvariable verwendet werden.

#Einfaches lineares Regressionsmodell anpassen
model <- lm(mpg ~ disp, data = mtcars)
# Zusammenfassung des angepassten Modells anzeigen
summary(model)

#Call:
#lm(formula = mpg ~ disp, data = mtcars)
#
#Residuals:
#    Min      1Q  Median      3Q     Max 
#-4.8922 -2.2022 -0.9631  1.6272  7.2305 
#
#Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#(Intercept) 29.599855   1.229720  24.070  < 2e-16 ***
#disp        -0.041215   0.004712  -8.747 9.38e-10 ***
#---
#Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#
#Residual standard error: 3.251 on 30 degrees of freedom
#Multiple R-squared:  0.7183,   Adjusted R-squared:  0.709 
#F-statistic: 76.51 on 1 and 30 DF,  p-value: 9.38e-10

Dann verwenden wir das angepasste Regressionsmodell, um den Wert von mpg basierend auf drei neuen Werten für disp vorherzusagen.

#Datafrane mit drei neuen Werten für disp erstellen
new_disp <- data.frame(disp= c(150, 200, 250))
#Verwenden Sie das angepasste Modell, um den Wert für mpg basierend auf den drei neuen Werten für disp vorherzusagen
predict(model, newdata = new_disp)

#       1        2        3 
#23.41759 21.35683 19.29607

Diese Werte können folgendermaßen interpretiert werden:

Für ein neues Auto mit einem disp von 150 sagen wir voraus, dass es einen mpg von 23.41759 haben wird.
Für ein neues Auto mit einem disp von 200 sagen wir voraus, dass es einen mpg von 21.35683 haben wird.
Für ein neues Auto mit einem disp von 250 sagen wir voraus, dass es einen mpg von 19.29607 haben wird.

Als nächstes verwenden wir das angepasste Regressionsmodell, um Vorhersageintervalle um diese vorhergesagten Werte herum zu erstellen:

#Erstellen Sie Vorhersageintervalle um die vorhergesagten Werte
predict(model, newdata = new_disp, interval = "predict")

#       fit      lwr      upr
#1 23.41759 16.62968 30.20549
#2 21.35683 14.60704 28.10662
#3 19.29607 12.55021 26.04194

Diese Werte können folgendermaßen interpretiert werden:

Das 95%–Vorhersageintervall der mpg für ein Auto mit einem disp von 150 liegt zwischen 16.62968 und 30.20549.
Das 95%–Vorhersageintervall des mpg für ein Auto mit einem disp von 200 liegt zwischen 14.60704 und 28.10662.
Das 95%–Vorhersageintervall der mpg für ein Auto mit einem disp von 250 liegt zwischen 12.55021 und 26.04194.

Standardmäßig verwendet R ein Vorhersageintervall von 95%. Mit dem Befehl level können wir dies jedoch nach Belieben ändern. Der folgende Code veranschaulicht beispielsweise, wie 99%-Vorhersageintervalle erstellt werden:

#99% Vorhersageintervalle um die vorhergesagten Werte erstellen
predict(model, newdata = new_disp, interval = "predict", level = 0.99)

#       fit      lwr      upr
#1 23.41759 14.27742 32.55775
#2 21.35683 12.26799 30.44567
#3 19.29607 10.21252 28.37963

Beachten Sie, dass die Vorhersageintervalle von 99% breiter sind als die Vorhersageintervalle von 95%. Dies ist sinnvoll, da je größer das Intervall ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es den vorhergesagten Wert enthält.

So visualisieren Sie ein Vorhersageintervall in R

Der folgende Code veranschaulicht das Erstellen eines Diagramms mit den folgenden Funktionen:

Ein Streudiagramm der Datenpunkte für disp und mpg
Eine blaue Linie für die angepasste Regressionslinie
Graue Vertrauensbänder
Rote Vorhersagebänder

#Datensatz definieren
data <- mtcars[ , c("mpg", "disp")]
#Erstellen Sie ein einfaches lineares Regressionsmodell
model <- lm(mpg ~ disp, data = mtcars)
#Modell verwenden, um Vorhersageintervalle zu erstellen
predictions <- predict(model, interval = "predict")
#Datensatz erstellen, der Originaldaten zusammen mit Vorhersageintervallen enthält
all_data <- cbind(data, predictions)
#Laden der ggplot2 Bibliothek
library(ggplot2)
#Plot erstellen
ggplot(all_data, aes(x = disp, y = mpg)) + #x- und y-Achsen-Variablen definieren
  geom_point() + #Streudiagramm-Punkte hinzufügen
  stat_smooth(method = lm) + #Kondidenzbänder
  geom_line(aes(y = lwr), col = "coral2", linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(y = upr), col = "coral2", linetype = "dashed")

Wann wird ein Konfidenzintervall im Vergleich zu einem Vorhersageintervall verwendet?

Ein Vorhersageintervall erfasst die Unsicherheit um einen einzelnen Wert. Ein Konfidenzintervall erfasst die Unsicherheit um die vorhergesagten Mittelwerte. Somit ist ein Vorhersageintervall immer breiter als ein Konfidenzintervall für denselben Wert.

Sie sollten ein Vorhersageintervall verwenden, wenn Sie an bestimmten individuellen Vorhersagen interessiert sind, da ein Konfidenzintervall einen zu engen Wertebereich erzeugt, was zu einer größeren Wahrscheinlichkeit führt, dass das Intervall nicht den wahren Wert enthält.

So erstellen Sie ein Vorhersageintervall in R