Ljung-Box-Test: Definition + Beispiel

Der Ljung-Box-Test, benannt nach den Statistikern Greta M. Ljung und George EP Box, ist ein statistischer Test, der prüft, ob in einer Zeitreihe eine Autokorrelation vorliegt.

Der Ljung-Box-Test wird häufig in der Ökonometrie und in anderen Bereichen verwendet, in denen Zeitreihendaten üblich sind.

Die Grundlagen des Ljung-Box-Tests

Hier sind die Grundlagen des Ljung-Box-Tests:

Hypothesen

Der Ljung-Box-Test verwendet die folgenden Hypothesen:

H ₀: Die Residuen werden unabhängig verteilt.

H _A: Die Residuen sind nicht unabhängig verteilt; Sie weisen eine serielle Korrelation auf.

Im Idealfall möchten wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Das heißt, wir möchten, dass der p-Wert des Tests größer als 0,05 ist, da dies bedeutet, dass die Residuen für unser Zeitreihenmodell unabhängig sind. Dies ist häufig eine Annahme, die wir beim Erstellen eines Modells treffen.

Teststatistik

Die Teststatistik für den Ljung-Box-Test lautet wie folgt:

Q = n (n + 2) Σp _k² / (nk)

wo:

• n = Stichprobengröße
• Σ = ein ausgefallenes Symbol, das „Summe“ bedeutet und als Summe von 1 bis h genommen wird, wobei h die Anzahl der getesteten Lags ist.
• p _k = Autokorrelation der Probe bei Lag k

Ablehnungsbereich

Die Teststatistik Q folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit h Freiheitsgraden; das heißt, Q ~ X ² (h).

Wir lehnen die Nullhypothese ab und sagen, dass die Residuen des Modells nicht unabhängig verteilt sind, wenn Q> X ²_{1-α, h}

Beispiel: Durchführen eines Ljung-Box-Tests in R

Um einen Ljung-Box-Test in R für eine bestimmte Zeitreihe durchzuführen, können wir die Funktion Box.test() verwenden, die die folgende Notation verwendet:

Box.test(x, lag =1, type=c(“Box-Pierce”, “Ljung-Box”), fitdf = 0)

wo:

• x = ein numerischer Vektor oder eine univariate Zeitreihe
• lag = angegebene Anzahl von Lags
• type = durchzuführender Test; Optionen sind Box-Pierce und Ljung-Box
• fitdf = zu subtrahierende Freiheitsgrade, wenn x eine Reihe von Residuen ist

Das folgende Beispiel zeigt, wie der Ljung-Box-Test für einen beliebigen Vektor von 100 Werten durchgeführt wird, die einer Normalverteilung mit Mittelwert = 0 und Varianz = 1 folgen:

#Machen Sie dieses Beispiel reproduzierbar
set.seed (1)
# Generieren Sie eine Liste mit 100 normalverteilten Zufallsvariablen
data <- rnorm(100, 0, 1)
# Ljung-Box-Test durchführen
Box.test(data, lag = 1, type = "Ljung")

Dies erzeugt die folgende Ausgabe:

Box-Ljung test
data: data
X-squared = 0.0013736, df = 1, p-value = 0.9704

Die Teststatistik des Tests ist Q = 0,0013736 und der p-Wert des Tests ist 0,9704, was viel größer als 0,05 ist. Daher können wir die Nullhypothese des Tests nicht ablehnen und daraus schließen, dass die Datenwerte unabhängig sind.

Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel einen Lag von „1“ verwendet haben. Sie können jedoch abhängig von Ihrer speziellen Situation einen beliebigen Wert auswählen, den Sie für den Lag verwenden möchten.